Das Gesetz großer Zahlen beim Poker

Wann immer jemand das Gesetz der großen Zahlen erwähnt, dann meint er normalerweise etwas in der Richtung von: „Wenn du etwas lang genug versuchst, wird es irgendwann funktionieren.“ Das ist aber eine sehr vereinfachte Version dieses Gesetzes. Ursprünglich wurde das Gesetz von Jakob Bernoulli, einem Schweizer Mathematiker, formuliert. Und wir können es in die Mathematik übertragen.

Machen wir ein Experiment: Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ist p. Wir machen das Experiment n mal und zn ist die Menge, wie oft das Ereignis in der Experimentfolge eingetreten ist. Mit den Werten e>0 und d>0 nach deiner Wahl gibt es ein n0, worin der Fall von n>n0 P (|zn/n-p|≥e) ≤d.

Und jetzt hast du das Gefühl, dass die wenigsten Leute darüber reden, wenn sie über das Gesetz beim Pokern reden, richtig? Wenn jemand sich der praktischen Anwendung bewusst wäre, würde er es nicht in einen Zusammenhang mit Poker stellen, schätze ich.

Wie Laien das Gesetz anwenden, und das mathematische Verständnis davon, versteckt zwei unterschiedliche Dinge. Das ist prinzipiell kein Problem. Es gibt auch andere modifizierte Redewendungen, die der Wissenschaft entliehen wurden. Andererseits gibt es zahlreiche falsche Ableitungen aus diesem Gesetz, über die man reden sollte.

Der häufigste Fehler

Dieses Gesetz wird ziemlich oft falsch verstanden, manchmal sogar von Pokerspielern. Das größte Missverständnis betrifft die langfristigen Resultate. Der allgemeine Glaube sagt, dass zufällige Ereignisse sich langfristig irgendwie selbst ausgleichen – sodass die Wahrscheinlichkeit auf lange Sicht dem Auftreten entspricht. Hier ist ein Beispiel.

Es ist eine selten gesehene, aber starke Eigenschaft, sich nicht von einer gelegentlich verlorenen Hand herunterziehen zu lassen. Nehmen wir ein Szenario von 80%:20% – Preflop All-in mit Assen gegen Zweien. Einer meiner Freunde ist einer dieser gelassenen Menschen (anders als ich). Das hier sagt er dazu:

• „Ich weiß, dass ich es wieder zurückbekomme. So Situationen funktionieren für mich 80% der Zeit.“
• „Ja, das werden sie, aber erst ab jetzt. Die hier ist schon zum Teufel.“
• „Ich glaube nicht, die hier zählt schon mit!“

Mein Freund ist ein völlig ruhiger Pokerspieler, der viel mehr Erfolge feiern konnte als ich. Aber dieses Mal liegt er falsch.

Coinflip-Situationen auf lange Sicht

Wenn du in deinem Leben viele Coinflip-Situationen spielst, dann bist du der Meinung, dass die Verluste und Gewinne sich letztlich ausgleichen. Nehmen wir diese Situationen erst mal als 50:50 an, das ist einfacher zu zählen. Sagen wir, deine Karriere beginnt ziemlich unglücklich – du verlierst die ersten drei Male. Wenn die ursprüngliche Annahme zutrifft, musst du mehr als die Hälfte aller späteren Coinflips gewinnen – sonst gleicht es sich nicht aus. Du merkst schon, hier stimmt irgendwas nicht. Weder das Deck noch der PokerStars-Zufallszahlengenerator erinnern sich daran, wie schlecht es vorher gelaufen ist. In der Zukunft sind Coinflips also weiterhin glatt 50:50.

Was ist also die Lösung? Karten haben definitiv keine Erinnerungen, aber du wirst garantiert eine Art von Ausgleich bemerken. Die Gewinne und Verluste werden sich nicht ausgleichen, aber das Verhältnis der beiden Zahlen wird sich immer weiter an 1 annähern. Schauen wir uns eine größere Beispielmenge von Zahlen an. So wird es viel einfacher!

Sagen wir, du hast 45 der ersten 100 Coinflip-Spiele gewonnen und 55 verloren. Du hast 10 Spiele mehr verloren, und das Verhältnis ist 45% zu 55%. Wenn der Einsatz immer gleich geblieben ist, bist du auch ökonomisch betrachtet ziemlich schlecht dran. Sagen wir, der Einsatz war immer $1, dann ist dein Kontostand gerade -$10. Das versaut dir aber nicht die Stimmung und du spielst weiter. Ein paar Monate später schaust du dir deine Statistiken an und entdeckst folgendes: Du hast mehr als 1000 Coinflip-Games gespielt, davon hast du 490 gewonnen und 510 verlorene. Das bedeutet, das Verhältnis von Gewinn und Niederlage hat sich wesentlich verbessert – auf 49% zu 51%. Aber obwohl das Verhältnis besser geworden ist, stehst du nicht besser da. Denn weil du jetzt 20 Niederlagen mehr hast, ist der Endstand -$20.

Es stimmt schon: Wenn du die Beispielmenge vergrößerst, nähern sich die 49:51 an 50:50 an. Aber die Differenz zwischen Verlusten und Gewinnen wird sich wahrscheinlich nicht ausgleichen. Dein Ergebnis von -20 könnte ganz leicht noch schlechter werden, aber es könnte sich auch zum Guten wenden.

Es gibt keine mathematischen Gesetze, die dir garantieren, dass die Chips und Dollars, die du zuvor verloren hast, wieder in deinen Besitz zurückkehren werden. Dein eigenes Spielwissen, deine Alarmbereitschaft und deine guten Entscheidungen können dafür sorgen.

Denk dran: Das 50:50 aus unserem Beispiel kann leicht ein 80:20 oder etwas anderes werden. Das ändert aber nichts an der Sache.